Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

-1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，P為橢圓上異于A₁，A₂的點(diǎn)，|A₁A₂|=6，PA₁和PA₂的斜率之積為-

4

9

．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)O為橢圓中心，M，N是橢圓上的異于頂點(diǎn)的兩個動點(diǎn)，求△OMN面積的最大值，并求面積取得最大值時，OM與ON的斜率之積是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知得A₁（-3，0），A₂（3，0），利用斜率計(jì)算公式可得kPA1•kPA2=

y02

x02-9

=-

4

9

，由于P（x₀，y₀）在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，可得

y02

x02-a2

=-

b2

a2

，又2a=6，解出即可．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．利用三角形面積計(jì)算公式與柯西不等式即可得出．

解答： 解：（1）由已知得A₁（-3，0），A₂（3，0），
設(shè)P（x₀，y₀），則kPA1=

y0

x0+3

，kPA2=

y0

x0-3

，
∵PA₁和PA₂的斜率之積為-

4

9

，
∴kPA1•kPA2=

y0

x0+3

•

y0

x0-3

=

y02

x02-9

=-

4

9

，
∵P（x₀，y₀）在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，
∴

x02

a2

+

y02

b2

=1，∴

y02

x02-a2

=-

b2

a2

，
又2a=6．
∴a²=9，b²=4，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
∴S_△MON=

1

2

|x1y2-x2y1|=

6

2

|

x1

3

•

y2

2

+

-x2

3

•

y1

2

|≤3

[( x1 3 )2+( y1 2 )2][(- x2 3 )2+( y2 2 )2]

=3，
∴△MON的面積的最大值為3．
當(dāng)且僅當(dāng)：

y1y2

x1x2

=-

4

9

時，取等號，此時k_OM•k_ON=-

4

9

．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計(jì)算公式、柯西不等式、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．