Question

已知點M（2，0），P為拋物線C：y²=2px（p＞0）上一動點，若|PM|的最小值為．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知⊙M：（x-2）²+y²=r²（r＞0），過原點O作⊙M的兩條切線交拋物線于A，B兩點，若直線AB與⊙M也相切．
（i）求r的值；
（ii）對于點Q（t²，t），拋物線C上總存在兩個點R，S，使得△QRS三邊與⊙M均相切，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）點M（2，0），P為拋物線C：y²=2px（p＞0）上一動點，設P（，y），所以|PM|²=（-2）²+y²=y⁴+（1-）y²+4，由此能求出拋物線C的方程．
（2）（i）由題意A（2+r，），B（2+r，-），知，由此能求出r．
（ii）設，則，△QRS三邊與⊙M均相切，故，由此能求出t．
解答：解：（1）∵點M（2，0），P為拋物線C：y²=2px（p＞0）上一動點，設P（，y），
∴|PM|²=（-2）²+y²=y⁴+（1-）y²+4，
∴對稱軸為y²=2p（2-p）．
當p≥2，|PM|_min=2，舍
當0＜p＜2，，解得或（舍），
所以y²=x．
（2）（i）由題意A（2+r，），B（2+r，-），
∴，
OA：y=，∴，
∴（r-1）（r+2）²=1，
解得r=1．
（ii）設，則
∵△QRS三邊與⊙M均相切，
∴，從而，將t₁換成t₂也成立
因為t₁≠t₂，所以t²≠1
故t₁，t₂為方程（1-t²）x²-2tx+t²-3=0的兩根，
∴，
故，即，
圓心到RS的距離，
解得t=±1．
故t的取值范圍是{-1，1}．
點評：本題考查拋物線方程的求法，考查實數(shù)值的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意點到直線的距離公式的求法．