Question

8．若點A（a，b）（ a≠b）在矩陣M=$|\begin{array}{l}{cosx}&{-sinx}\\{sinx}&{cosx}\end{array}|$對應變換的作用下得到的點為B（-b，a），
（1）求矩陣M的逆矩陣；
（2）求曲線C：x²+y²=1在矩陣N=$|\begin{array}{l}{0}&{\frac{1}{2}}\\{1}&{0}\end{array}|$所對應變換的作用下得到的新的曲線C′的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二階矩陣與平面列向量的乘法，確定矩陣M，再求矩陣的逆矩陣；
（2）設曲線C上任意一點P（x₀，y₀），根據(jù)矩陣變換的公式求出對應的點P′（x，y），解出由x、y表示x₀，y₀的式子，將點P的坐標代入曲線C方程，化簡即得曲線C'的方程．

解答 解：（1）∵點A（a，b）（ a≠b）在矩陣M=$|\begin{array}{l}{cosx}&{-sinx}\\{sinx}&{cosx}\end{array}|$對應變換的作用下得到的點為B（-b，a），
∴$\left\{\begin{array}{l}{acosx-bsinx=-b}\\{asinx+bcosx=a}\end{array}\right.$，得cosx=0，sinx=1  …（3分）
即M=$[\begin{array}{l}{0}&{-1}\\{1}&{0}\end{array}]$，由M^-1M=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}]$得M^-1=$[\begin{array}{l}{0}&{1}\\{-1}&{0}\end{array}]$．…（4分）
（2）設P（x₀，y₀）是曲線C：x²+y²=1上任意一點，
則點P（x₀，y₀）在矩陣M對應的變換下變?yōu)辄cP′（x，y）
則有$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{0}&{\frac{1}{2}}\\{1}&{0}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{{x}_{0}}\\{{y}_{0}}\end{array}]$，即x₀=y，y₀=2x，
又∵點P在曲線C：x²+y²=1上，
∴4x²+y²=1，即曲線C'的方程為橢圓4x²+y²=1．

點評 本題主要考查矩陣乘法、逆矩陣與變換，考查了曲線方程的求法等基本知識，考查運算求解能力，