Question

7．已知數(shù)列{a_n}中，a_n+1=S_n-n+3，n∈N^*，a₁=2，求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式可得a_n=S_n-1-n+4（n≥2），與原遞推式作差后構造等比數(shù)列{a_n-1}，然后由等比數(shù)列的通項公式求得數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 解：由a_n+1=S_n-n+3，得a_n=S_n-1-n+4（n≥2），
兩式作差可得a_n+1-a_n=a_n-1，
即a_n+1=2a_n-1（n≥2），
∴a_n+1-1=2（a_n-1）（n≥2），
∴數(shù)列{a_n-1}從第二項起，構成公比為2的等比數(shù)列，
∵a₁=2，∴a₂=a₁-1+3=4，
∴a_n-1=4•2^n-2=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ+1，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n}+1，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關系的確定，考查了等比數(shù)列的通項公式，是中檔題．