Question

19．四次多項(xiàng)式f（x）的四個(gè)實(shí)根構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，則f′（x）的所有根中最大根與最小根之差是（　�。�

• A． 2
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4
• D． $2\sqrt{5}$

Answer 1

分析 不妨設(shè)4個(gè)根為-3，-1，1，3．可得f（x）=a（x-1）（x+1）（x+3）（x-3）=a（x⁴-10x²+9），（a≠0）．由f'（x）=a（4x³-20x）=4ax（x²-5）=0，解得x即可得出．

解答 解：不妨設(shè)4個(gè)根為-3，-1，1，3．
f（x）=a（x-1）（x+1）（x+3）（x-3）=a（x²-1）（x²-9）=a（x⁴-10x²+9），（a≠0）．
f'（x）=0的三個(gè)根分別在（-3，-1），（-1，1），（1，3）內(nèi)，
由f'（x）=a（4x³-20x）=4ax（x²-5）=0，
解得x=-$\sqrt{5}$，0，$\sqrt{5}$，
最大根為：$\sqrt{5}$，最小根為：-$\sqrt{5}$，
∴兩者差為：2$\sqrt{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、方程的解法、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．