Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²+2bx+5（b∈R）．
（1）若b=2，試解不等式f（x）＜10；
（2）若f（x）在區(qū)間[-4，-2]上的最小值為-11，試求b的值；
（3）若|f（x）-5|≤1在區(qū)間（0，1）上恒成立，試求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次不等式的解法解得即可．
（2）根據(jù)所給的二次函數(shù)的性質(zhì)，寫(xiě)出對(duì)于對(duì)稱軸所在的區(qū)間不同時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的最小值，
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性分別求出y=$\frac{1}{x}$-x 的最小值為0，y=-x-$\frac{1}{x}$ 的最大值為-2，由此求得b的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=x²+4x+5＜10，
即x²+4x-5＜0，
即（x+5）（x-1）＜0，
解得-5＜x＜1，
故不等式的解集為（-5，1），
（2）f（x）=x²+2bx+5=（x+b）²-b²+5，
其對(duì)稱軸為x=-b，
當(dāng)-b＜-4即b＞4時(shí)，在區(qū)間[-4，-2]上單調(diào)遞增，故y_min=16-8x+5=-11，解得b=4，舍去；
當(dāng)-4≤-b≤-2即2≤b≤4時(shí)，在對(duì)稱軸處取最小值，故y_min=-b²+5=-11，解得b=±4，只有b=4符合題意，
當(dāng)-b＞-2即b＜2時(shí)，在區(qū)間[-4，-2]上單調(diào)遞減，故y_min=4-4b+5=-11，解得b=5，不符合題意，舍去；
綜上所述：b的值為4，
（3）|f（x）-5|≤1在區(qū)間（0，1）上恒成立，
∴|x²+bx|≤1在區(qū)間（0，1）上恒成立，
∴-1≤x²+2bx≤1，
∴-x-$\frac{1}{x}$≤2b≤-x+$\frac{1}{x}$
∵函數(shù)y=-x-$\frac{1}{x}$在（0，1）上為增函數(shù)，y＞-1-1=-2，
函數(shù)y=-x+$\frac{1}{x}$在（0，1）上為減函數(shù)，y＜-1+1=0，
∴-2≤2b≤0，
解得-1≤b≤0，
故b的取值范圍為[-1.0]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的最值和參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，屬于中檔題．