Question

18．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，以原點(diǎn)O為圓心，以橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作斜率為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{BO}$，又點(diǎn)D關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E，求AB與DE兩條線段的垂直平分線的交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）a=$\frac{2}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{2}$，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，解出即可得出．
（2）F（1，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．可得直線l：y=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1），與橢圓方程聯(lián)立化為2x²-2x-1=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：$\overrightarrow{OD}=-$$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$．即可得出點(diǎn)D關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E．即可得出線段DE的垂直平分線的方程．同理可得其垂直平分線的方程，聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：（1）a=$\frac{2}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{2}$，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，
解得b=c=1．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）F（1，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
可得直線l：y=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為2x²-2x-1=0，
∴x₁+x₂=1，
y₁+y₂=$-\frac{\sqrt{2}}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}-2）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$\overrightarrow{OD}=-$$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$=$（-1，-\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
∴點(diǎn)D關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E$（1，\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
k_DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴線段DE的垂直平分線的方程為：$y=-\sqrt{2}$x．
線段AB的中點(diǎn)為$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{4}）$，
因此其垂直平分線的方程為：y-$\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\sqrt{2}$（x-$\frac{1}{2}$），化為4$\sqrt{2}x$-4y-$\sqrt{2}$=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{2}x}\\{4\sqrt{2}x-4y-\sqrt{2}=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{1}{8}$，y=-$\frac{\sqrt{2}}{8}$．
∴AB與DE兩條線段的垂直平分線的交點(diǎn)坐標(biāo)為$（\frac{1}{8}，-\frac{\sqrt{2}}{8}）$．

點(diǎn)評 本題考查了直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、線段的垂直平分線的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．