Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且2Sn=（n+2）an﹣1（n∈N*）．
（1）求a1的值；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)Tn= ，求證：Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2Sn=（n+2）an﹣1（n∈N*）．

令n=1時(shí)，2S1=3a1﹣1，解得：a1=1

（2）解：由于：2Sn=（n+2）an﹣1①

所以：2Sn+1=（n+3）an+1﹣1②

②﹣①得：2an+1=（n+3）an+1﹣（n+2）an，

整理得： ，則 ，即 ．

∵ ，

∴ ，…， ，

利用疊乘法把上面的（n﹣1）個(gè)式子相乘得： = ，

∴ ，當(dāng)n=1時(shí)，a1=1符合上式，

∴數(shù)列的通項(xiàng)公式是 ．

（3）證明：∵ ，∴ ，

∴ =2（ ），

∴Tn=

=2（ …+ ）

=2（ ）＜2（ ）= ．

故Tn＜ ．

【解析】（1）令n=1可得a1的值；（2）由已知條件可得2Sn+1=（n+3）an+1﹣1，作差可得=，利用疊乘法可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）利用裂項(xiàng)法可得Tn，進(jìn)而可證Tn＜．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識，掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．