Question

已知F₁是橢圓5x²+9y²=45的左焦點(diǎn)，P為橢圓上半部分任意一點(diǎn)，A（1，1）為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，求|PA|+|PF₁|的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由橢圓5x²+9y²=45的方程化為

x2

9

+

y2

5

=1，可得F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），由橢圓的定義可得：|PF₁|+|PF₂|=2a，可得|PA|+|PF₁|=|PA|+2a-|PF₂|=2a-（|PF₂|-|PA|）≥2a-|AF₂|．

解答： 解：由橢圓5x²+9y²=45的方程化為

x2

9

+

y2

5

=1，可得F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
∴|AF₂|=

(1-2)2+(1-0)2

=

2

．
如圖所示．
∵|PF₁|+|PF₂|=2a=6，
∴|PA|+|PF₁|=|PA|+6-|PF₂|=6-（|PF₂|-|PA|）≥6-|AF₂|=6-

2

．當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)P，A，F(xiàn)₂共線時(shí)取等號．
∴|PA|+|PF₁|的最小值為6-

2

．
故答案為：6-

2

．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式、三角形三邊大小關(guān)系、三點(diǎn)共線，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．