Question

13．已知函數(shù)f（x）=|x-2|+2|x+1|．
（1）解不等式f（x）＞4；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，去掉絕對(duì)值，從而解出不等式的解集；
（2）畫出函數(shù)f（x）的圖象，通過圖象讀出即可．

解答 解：（1）當(dāng)x＜-1時(shí)，-3x＞4，解得x＜-$\frac{4}{3}$，∴x＜-$\frac{4}{3}$，
當(dāng)-1≤x＜2時(shí)，x+4＞4，解得x＞0，∴0＜x＜2，
當(dāng)x≥2時(shí)，3x＞4，解得x＞$\frac{4}{3}$，∴x≥2，
綜上，原不等式解集為{x|x＜-$\frac{4}{3}$或x＞0}．      
（2）由f（x）的圖象和單調(diào)性易得f（x）_min=f（-1）=3，
若?x∈R，f（x）≥m恒成立，
則只需f（x）_min≥m⇒m≤3，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，考查函數(shù)恒成立問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．