Question

設(shè){a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=b₁=1，a₃+b₃=9，a₅+b₂=11．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{

an

bn

}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)公差、公比分別為d、q，利用題意和等差、等比數(shù)列的通項公式列出方程組，求出d、q的值，再代入a_n和b_n化簡即可；
（Ⅱ）先利用條件求出

an

bn

，再利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)公差、公比分別為d、q，
依題意得

a1+2d+b1q2=9 a1+4d+b1q=11

，即

1+2d+q2=9 1+4d+q=11

，解得

d=2 q=2

，
所以a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
bn=1×2n-1=2^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

an

bn

=

2n-1

2n-1

，
則S_n=1•(

1

2

)0+3•(

1

2

)1+…+(2n-1)(

1

2

)n-1，

1

2

S_n=1•(

1

2

)1+3•(

1

2

)2+…+(2n-3)(

1

2

)n-1+(2n-1)(

1

2

)n，
兩式相減得，

1

2

S_n=1+2（

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

）-(2n-1)(

1

2

)n
=1+

1- 1 2n-1

1- 1 2

-(2n-1)(

1

2

)n=3-

3+2n

2n

，
所以S_n=6-

3+2n

2n-1

．

點評：本題考查等差、等比數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的前n項和公式，以及數(shù)列的求和方法：錯位相減法，一般應(yīng)先求數(shù)列的通項公式，再根據(jù)其特點選擇求和方法，考查化簡能力．