Question

如圖，設(shè)四棱錐E-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，AE=BE=

2

．
（Ⅰ）證明：平面EAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求四棱錐E-ABCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)EO、CO，由已知得△ABC是等邊三角形，由此能證明平面EAB⊥平面ABCD．
（II）V_E-ABCD=

1

3

S菱形ABCD•EO，由此能求出四棱錐E-ABCD的體積．

解答： （I）證明：取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)EO、CO．
由AE=BE=

2

，知△AEB為等腰直角三角形．
故EO⊥AB，EO=1，又AB=BC，∠ABC=60°，
則△ABC是等邊三角形，從而CO=

3

．
又因?yàn)镋C=2，所以EC²=EO²+CO²，
所以EO⊥CO．
又EO⊥AB，CO∩AB=O，因此EO⊥平面ABCD．
又EO?平面EAB，故平面EAB⊥平面ABCD．…（8分）
（II）解：V_E-ABCD=

1

3

S菱形ABCD•EO
=

1

3

×2×2×sin60°×1
=

2 3

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．