Question

有甲、已兩種商品，經(jīng)銷這兩種商品所能獲得的利潤(rùn)依次是p萬(wàn)元和q萬(wàn)元，它們與投入的資金x萬(wàn)元的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式：p=

1

10

x，q=

2

5

x

．現(xiàn)有資金9萬(wàn)元全部投入經(jīng)銷甲、乙兩種商品，為了獲取最大利潤(rùn)，問(wèn)：對(duì)甲、乙兩種商品的資金分別投入多少萬(wàn)元能獲得最大利潤(rùn)？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：如果設(shè)對(duì)乙商品投入資金x萬(wàn)元，則對(duì)甲投入資金為（9-x）萬(wàn)元，獲取的利潤(rùn)為y萬(wàn)元；那么y=p+q，代入可得關(guān)于x的解析式，利用換元法得到二次函數(shù)f（t），再由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求導(dǎo)y的最大值，和對(duì)應(yīng)的t、x．

解答： 解：設(shè)對(duì)乙商品投入資金x萬(wàn)元，則對(duì)甲投入資金為（9-x）萬(wàn)元，此時(shí)獲取利潤(rùn)為y萬(wàn)元；
則由題意知，y=p+q=

1

10

（9-x）+

2

5

x

（0≤x≤9）．
令

x

=t，則y=-

1

10

（t-2）²+1.3（其中0≤t≤3）；
根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，當(dāng)t=2時(shí)，y有最大值，為1.3；
又t=2，得x=4（萬(wàn)元），∴9-x=5（萬(wàn)元）；
所以，對(duì)甲投入資金5萬(wàn)元，對(duì)乙投資4萬(wàn)元時(shí)，獲取利潤(rùn)最大，為1.3萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了換元法的應(yīng)用，運(yùn)用換元法解題時(shí)，要注意換元前后函數(shù)自變量取值范圍的變化，以免出錯(cuò)．