Question

【題目】已知函數(shù)， ．　

（1）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）是否存在整數(shù)， ，使得的解集恰好是，若存在，求出， 的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)圖像確定對稱軸一定在區(qū)間外，再根據(jù)左右位置對于單調(diào)性確定函數(shù)值的正負，解不等式可得實數(shù)的取值范圍；（2）根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系討論函數(shù)值對應關(guān)系，消去m得關(guān)于a,b關(guān)系式，根據(jù)整數(shù)條件確定有限解，最后驗證確定滿足條件的解

試題解析：（1）令，則．

當，即時， 恒成立，

所以．

因為在上是減函數(shù)，所以，解得，

所以．

由，解得或，

當時， 的圖象對稱軸，且方程的兩根均為正，

此時在為減函數(shù)，所以符合條件．

當時， 的圖象對稱軸，且方程的根一正一負，

要使在單調(diào)遞減，則，解得．

綜上可得，實數(shù)的取值范圍為．

（2）假設(shè)存在整數(shù)、，使的解集恰好是，則

①若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則， 且，

即

作差得到，代回得到，即，

由于、均為整數(shù)，

故， ， 或， ， ，經(jīng)檢驗均不滿足要求；

②若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則， 且，

即

作差得到，代回得到： ，即，

由于、均為整數(shù)，

故， ， 或， ， ，經(jīng)檢驗均不滿足要求；

③若函數(shù)在上不單調(diào)，則， ，且，

即

作差得到，代回得到，即，由于， 均為整數(shù)，

故， ， 或， ， ，經(jīng)檢驗均滿足要求；

綜上：符合要求的整數(shù)、是或.