【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=,D是棱AC的中點,且AB=BC=BB1=2.

(1)求證:AB1∥平面BC1D;

(2)求異面直線AB1與BC1所成的角.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接B1C交BC1于點O,連接OD.利用三角形中位線說明OD∥AB1即得證。

（2）建立空間坐標系，求出=(0,-2,2),=(2,0,2).代入夾角計算公式即可。

(1)證明如圖,連接B1C交BC1于點O,連接OD.

因為O為B1C的中點,D為AC的中點,所以O(shè)D∥AB1.

因為AB1平面BC1D,OD平面BC1D,

所以AB1∥平面BC1D.

(2)解建立如圖所示的空間直角坐標系Bxyz,

則B(0,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,2),B1(0,0,2),

因此=(0,-2,2),=(2,0,2).

所以cos<>==,

設(shè)異面直線AB1與BC1所成的角為θ,則cos θ=,由于θ∈,故θ=.

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(1)求證:MN∥BC;

(2)若M,N分別為PB,PC的中點,

①求證:PB⊥DN;

②求二面角P-DN-A的余弦值.

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