Question

如圖，直角三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)A(－2，0)，直角頂點(diǎn)B（0，－2），頂點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)P為線段OA的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求BC邊所在直線方程；

（Ⅱ）M為直角三角形ABC外接圓的圓心，求圓M的方程；

（Ⅲ）若動圓N過點(diǎn)P且與圓M內(nèi)切，求動圓N的圓心N的軌跡方程．

 

Answer 1

（Ⅰ）∵k_AB=－，AB⊥BC，∴k_CB=，　　……………………………………………………2分

∴直線BC方程為:y=x－2．         …………………………………………………4分

（Ⅱ）直線BC與x軸交于C,令y=0，得C(4，0)，∴圓心M（1，0），………………………7分

又∵AM=3，∴外接圓的方程為．      …………………………………10分

（Ⅲ）∵P(－1，0)，M(1，0)，

∵圓N過點(diǎn)P(－1，0)，∴PN是該圓的半徑．

又∵動圓N與圓M內(nèi)切，∴MN=3－PN，即MN+ PN=3．    ……………………………12分

∴點(diǎn)N的軌跡是以M、P為焦點(diǎn)，長軸長為3的橢圓，      ……………………………13分

∴a=，c=1，b²=a²－c²=，∴軌跡方程為．  …………………………………14分