已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱垂直底邊ABCD四棱柱，AA1=2，E是側(cè)棱AA1的中點(diǎn)，求
（1）求異面直線BD與B1E所成角的大小；
（2）求四面體AB1D1C的體積．

解：（1）連接B1D1、D1E，
∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，B1B∥D1D且B1B=D1D
∴四邊形BB1D1D是平等四邊形
因此B1D1∥BD，可得∠EB1D1或其補(bǔ)角就是異面直線BD與B1E所成角
∵AA1=2AB=2，∴B1D1=ED1=B1E=，得△B1D1E是等邊三角形，∠EB1D1=60°
由此可得，異面直線BD與B1E所成角的大小為60°；
（2）根據(jù)題意，得=S正方形ABCD×AA1=2
∵====××1×1×2=
∴四面體AB1D1C的體積為
V=-（+
++）=2-=
分析：（1）連接B1D1、D1E，可得平行四邊形BB1D1D中，B1D1∥BD，所以∠EB1D1或其補(bǔ)角就是異面直線BD與B1E所成角．再由已知條件算出△B1D1E是等邊三角形同，從而可得異面直線BD與B1E所成角的大小為60°；
（2）算出正四棱柱ABCD-A1B1C1D1位于B、A1、C1、D四個(gè)角上的全等的三棱錐的體積，再用正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積減去這四個(gè)三棱錐體積，即可得到四面體AB1D1C的體積．
點(diǎn)評(píng)：本題在正四棱柱中求異面直線所成角，并求四面體的體積，著重考查了正棱柱的性質(zhì)、異面直線所成角和體積的求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
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已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，AA1=2，底面四邊形ABCD的邊長(zhǎng)均大于2，且∠DAB=45°，點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)且在AB，AD上的射影分別為M，N，若|PA|=2，則三棱錐P-D1MN體積的最大值為（　�。�

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已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中的底面是菱形，且∠DAB=∠A1AB=∠A1AD=60°，AD=1，AA1=a，F(xiàn)為棱BB的中點(diǎn)，M為線段AC的中點(diǎn)．設(shè)
AB
=
e1
，
AD
=
e2
，
AA1
=
e3
．試用向量法解下列問(wèn)題：
（1）求證：直線MF∥平面ABCD；
（2）求證：直線MF⊥面A1ACC1；
（3）是否存在a，使平面AFC1與平面ABCD所成二面角的平面角是30°？如果存在，求出相應(yīng)的a 值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（提示：可設(shè)出兩面的交線）

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（2012•江門一模）如圖，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的俯視圖是邊長(zhǎng)為3的正方形，側(cè)視圖是長(zhǎng)為3寬為
3
的矩形．
（1）求該四棱柱的體積；
（2）取DD1的中點(diǎn)E，證明：面BCE⊥面ADD1A1．

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精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB=4，AA1=3，∠BAA1=60°，E為棱C1D1的中點(diǎn)，則
AB
•
AE
=
 
．

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