【題目】已知橢圓的離心率為，且過點

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與圓相切于點，且與橢圓只有一個公共點.

①求證： ；

②當為何值時， 取得最大值？并求出最大值.

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)①.證明見解析；②.答案見解析.

【解析】試題分析：(1)橢圓的離心率為，又橢圓過已知點，即，再加上，聯(lián)立可求得；（2）直線與圓及橢圓都相切，因此可以把直線方程與橢圓方程(或圓方程)聯(lián)立方程組，此方程組只有一解，由此可得到題中參數(shù)的關(guān)系式，當然直線與圓相切，可利用圓心到直線的距離等于圓的半徑來列式，得到的兩個等式中消去參數(shù)即可證得①式；而②要求的最大值，可先求出，注意到，因此，這里設(shè)，由①中的方程(組)可求得，最終把用表示， ，利用不等式知識就可求得最大值.

試題解析：(1)橢圓E的方程為4分

（2）①因為直線與圓C: 相切于A,得,

即① 5分

又因為與橢圓E只有一個公共點B，

由得,且此方程有唯一解.

則即

②由①②,得8分

②設(shè)，由得

由韋達定理,

∵點在橢圓上,∴

∴10分

在直角三角形OAB中,

∴12分

練習冊系列答案
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