Question

等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，a₁=3，前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}中，b₁=1，且b₂•S₂=16，{ban}是公比為4的等比數(shù)列
（1）求a_n與b_n
（2）設(shè)Cn=

1

S1

+

1

S2

+

1

S2

+…+

1

Sn

，若對(duì)任意正整數(shù)n，當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，不等式t²-2mt+

3

4

＞C_n恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）（1）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則d為正整數(shù)，a_n=3+（n-1）d，b_n=q^n-1，
依題意有

ban+1

ban

=

q3+nd

q3+(n-1)d

=qd=4以及S₂b₂=（6+d）q=16，由此可導(dǎo)出a_n與b_n；
（2）首先利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算出數(shù)列的前n項(xiàng)和，然后裂項(xiàng)求和法求出和，最后利用不等式恒成立的條件即可獲得問題的解答．

解答：解：（1）由已知可得

ban+1 ban = q3+nd q3+(n-1)d =qd=4 S2b2=(6+d)q=16

解得，q=2，d=2
∴a_n=3+（n-1）2=2n+1
∴b_n=2^n-1
（2）S_n=S_n=3+5++（2n+1）=n（n+2），
∵Cn=

1

1×3

+

1

2×4

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

[1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

]＜

3

4

由于m∈[-1，1]時(shí)，不等式t²-2mt+

3

4

＞C_n恒成立
∴

t2-2t≥0 t2+2t≥0

∴t≤-2或t≥2或t=0

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是數(shù)列通項(xiàng)的求法與不等式的綜合問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了解方程的思想、前n項(xiàng)和公式以及放縮法等知識(shí)．值得同學(xué)們體會(huì)反思．