Question

17．已知橢圓C的兩焦點為F₁（-2$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（2$\sqrt{2}$，0），離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求此橢圓C的方程；
（2）過點M（0，t）的直線l（斜率存在時）與橢圓C交于P，Q兩點，設(shè)D為橢圓C與y軸負(fù)半軸的交點，且|$\overrightarrow{DP}$|=|$\overrightarrow{DQ}$|．求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)橢圓方程，由c=2$\sqrt{2}$，根據(jù)橢圓的離心率公式求得a=2$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=4，即可求得橢圓方程；
（2）根據(jù)題意設(shè)出直線方程，與（1）中M的方程聯(lián)立，然后運(yùn)用設(shè)而不求及韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式，進(jìn)行計算，求出實數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（1）橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由c=2$\sqrt{2}$，
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．則a=2$\sqrt{3}$，
b²=a²-c²=4，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）由D（0，-2），M（0，t）
①當(dāng)直線l的斜率k=0，直線l的方程為y=t，
則滿足題意的t的取值范圍為-2＜t＜2，
②當(dāng)直線l的斜率k≠0時，設(shè)直線l的方程為y=kx+t
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得（3k²+1）x²+6ktx+3t²-12=0
∵直線l與橢圓M交于兩點P、Q，
∴△=（6kt）²-4（3k²+1）（3t²-12）＞0
即t²＜4+12k² ，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x₁+x₂=-$\frac{6kt}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{t}^{2}-12}{1+3{k}^{2}}$，
PQ中點H（x₀，y₀），
則H的橫坐標(biāo)x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{3kt}{1+3k}$，
縱坐標(biāo)y₀=x₀+t=$\frac{t}{1+3{k}^{2}}$，
D點的坐標(biāo)為（0，-2）
由|$\overrightarrow{DP}$|=|$\overrightarrow{DQ}$|．得DH⊥PQ，k_DH•k_PQ=-1，
即$\frac{\frac{t}{1+3{k}^{2}}+2}{-\frac{3kt}{1+3{k}^{2}}-0}$=-$\frac{1}{k}$，即t=1+3k²．∴k²＞0，∴t＞1．
∴0＜t＜4，1＜t＜4．
綜上所述，-2＜t＜4．
實數(shù)t的取值范圍（-2，4）．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，以及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程問題．涉及直線與橢圓的位置關(guān)系，以及熟練運(yùn)用韋達(dá)定理的方法．屬于中檔題．