Question

2．已知函數f（x）=x²-ax的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y+2=0垂直，若數列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n項和為S_n，則S₂₀₁₇的值為$\frac{2017}{2018}$．

Answer 1

分析 對函數求導，根據導數的幾何意義可求切線在x=1處的斜率，然后根據直線垂直時斜率之積為-1的條件，可求a，代入可求f（n），利用裂項求和即可求．

解答 解：∵f（x）=x²-ax，
∴f′（x）=2x-a，
∴y=f（x）的圖象在點A（1，f（1））處的切線斜率k=f′（1）=2-a，
∵切線l與直線x+3y+2=0垂直，∴（2-a）•（-$\frac{1}{3}$）=-1，
∴a=-1，f（x）=x²+x，
∴f（n）=n²+n=n（n+1），
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S₂₀₁₇=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$+$\frac{1}{2017}$-$\frac{1}{2018}$=1-$\frac{1}{2018}$=$\frac{2017}{2018}$．
故答案為：$\frac{2017}{2018}$．

點評 本題以函數的導數的幾何意義為載體，主要考查了切線斜率的求解，兩直線垂直時的斜率關系的應用，及裂項求和方法的應用，屬于中檔題．