Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對?x∈R恒有f（x-2）=f（x）+f（2），且當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=x²-x，則f（

3

2

）=（　�。�

• A、

  3

  4

• B、

  1

  4

• C、-

  1

  4

• D、-

  3

  4

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對?x∈R恒有f（x-2）=f（x）+f（2），分別取x=

3

2

，2可得f(

3

2

)=f(-

1

2

)-f(2)，f（2）=f（0），利用f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可得f(-

1

2

)=-f(

1

2

)，f（2）=f（0）=0．即可得出f(

3

2

)=-f(

1

2

)，再利用已知即可得出．

解答： 解：∵對?x∈R恒有f（x-2）=f（x）+f（2），
∴f(

3

2

-2)=f(

3

2

)+f（2），f（2-2）=2f（2），
化為f(

3

2

)=f(-

1

2

)-f(2)，f（2）=f（0），
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f(-

1

2

)=-f(

1

2

)，f（2）=f（0）=0．
∴f(

3

2

)=-f(

1

2

)，
∵當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=x²-x，
∴f(

1

2

)=(

1

2

)2-

1

2

=-

1

4

．
∴f(

3

2

)=

1

4

．
故選：B．

點評：本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．