Question

18．某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：
以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù)．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，確定n的最小值；
（Ⅲ）以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得X的可能取值為16，17，18，19，20，21，22，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列．
（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=$\frac{11}{25}$，P（X≤19）=$\frac{17}{25}$．由此能確定滿足P（X≤n）≥0.5中n的最小值．
（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）=$\frac{17}{25}$．求出買19個(gè)所需費(fèi)用期望EX₁和買20個(gè)所需費(fèi)用期望EX₂，由此能求出買19個(gè)更合適．
法二：解法二：購(gòu)買零件所用費(fèi)用含兩部分，一部分為購(gòu)買零件的費(fèi)用，另一部分為備件不足時(shí)額外購(gòu)買的費(fèi)用，分別求出n=19時(shí)，費(fèi)用的期望和當(dāng)n=20時(shí)，費(fèi)用的期望，從而得到買19個(gè)更合適．

解答 解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值為16，17，18，19，20，21，22，
P（X=16）=（$\frac{20}{100}$）²=$\frac{1}{25}$，
P（X=17）=$\frac{20}{100}×\frac{40}{100}×2=\frac{4}{25}$，
P（X=18）=（$\frac{40}{100}$）²+2（$\frac{20}{100}$）²=$\frac{6}{25}$，
P（X=19）=$2×\frac{40}{100}×\frac{20}{100}+2×（\frac{20}{100}）^{2}$=$\frac{6}{25}$，
P（X=20）=$（\frac{20}{100}）^{2}+2×\frac{40}{100}×\frac{20}{100}$=$\frac{5}{25}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=21）=$2×（\frac{20}{100}）^{2}$=$\frac{2}{25}$，
P（X=22）=$（\frac{20}{100}）^{2}=\frac{1}{25}$，
∴X的分布列為：

X	16	17	18	19	20	21	22
P	$\frac{1}{25}$	$\frac{4}{25}$	$\frac{6}{25}$	$\frac{6}{25}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{25}$	$\frac{1}{25}$

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）
=$\frac{1}{25}+\frac{4}{25}+\frac{6}{25}$=$\frac{11}{25}$．
P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）
=$\frac{1}{25}+\frac{4}{25}+\frac{6}{25}$+$\frac{6}{25}$=$\frac{17}{25}$．
∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值為19．
（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）
=$\frac{1}{25}+\frac{4}{25}+\frac{6}{25}$+$\frac{6}{25}$=$\frac{17}{25}$．
買19個(gè)所需費(fèi)用期望：
EX₁=200×$19×\frac{17}{25}$+（200×19+500）×$\frac{5}{25}$+（200×19+500×2）×$\frac{2}{25}$+（200×19+500×3）×$\frac{1}{25}$=4040，
買20個(gè)所需費(fèi)用期望：
EX₂=$200×20×\frac{22}{25}$+（200×20+500）×$\frac{2}{25}$+（200×20+2×500）×$\frac{1}{25}$=4080，
∵EX₁＜EX₂，
∴買19個(gè)更合適．
解法二：購(gòu)買零件所用費(fèi)用含兩部分，一部分為購(gòu)買零件的費(fèi)用，
另一部分為備件不足時(shí)額外購(gòu)買的費(fèi)用，
當(dāng)n=19時(shí)，費(fèi)用的期望為：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，
當(dāng)n=20時(shí)，費(fèi)用的期望為：20×200+500×0.08+1000×0.4=4080，
∴買19個(gè)更合適．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．