Question

8．直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的$\frac{1}{4}$，則該橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 設出橢圓的方程，求出直線的方程，利用已知條件列出方程，即可求解橢圓的離心率．

解答 解：設橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，
則直線方程為：$\frac{x}{c}+\frac{y}=1$，橢圓中心到l的距離為其短軸長的$\frac{1}{4}$，
可得：$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{c}^{2}}+\frac{1}{^{2}}}}=\frac{2}$，
4=b²（$\frac{1}{{c}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$），
∴$\frac{^{2}}{{c}^{2}}=3$，
$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{c}^{2}}$=3，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查橢圓的簡單性質的應用，考查點到直線的距離公式，橢圓的離心率的求法，考查計算能力．