Question

如圖，從一點O引出三條射線OA，OB，OC與直線l分別交于A，C，B三個不同的點，則下列命題正確的是

 

．
①若

OC

=λ

OA

+μ

OB

（λ，μ∈R），則λ+μ=1；
②若先引射線OA，OB與l交于A，B兩點，且

OA

，

OB

恰好是夾角為90°的單位向量，再引射線OC與直線l交于點C（C在A，B之間），則△OAC的面積S_△OAC≤

1

8

的概率是

1

4

；
③若|

OA

|=

2

，|

OB

|=1，

OA

和

OC

的夾角為30°，

OB

和

OC

夾角為45°，則|

OC

|=

6 + 2

4

；
④若C為AB中點，P為線段OC上一點（不含端點），且

OP

=k

OC

，過P作直線m分別交射線OA，OB于A′，B′，若

OA

=a

OA′

，

OB

=b

OB′

，則ab的最大值是k²．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：①由共線向量定理即可得出λ+μ=1；
②要使得△OAC的面積S_△OAC≤

1

8

，只需AC≤

1

4

AB，假設點P是靠近A的線段AB的四等分點，則此題的概率應該是

∠AOP的弧度數(shù)

∠AOB的弧度數(shù)

＜

1

4

；
③S_△OAB=S_△OAC+S_△OBC，可得

1

2

|

OA

||

OB

|sin＜

OA

，

OB

＞=

1

2

|

OA

||

OC

|sin＜

OA

，

OC

＞+

1

2

|

OB

||

OC

|sin＜

OB

，

OC

＞，通過化簡即可得出；
④

OP

=k

OC

=

k

2

(

OA

+

OB

)=

ka OA′

2

+

kb OB′

2

，由P，A′，B′三點共線和①的結論可得

ka

2

+

kb

2

=1，可得a+b=

2

k

再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：①若

OC

=λ

OA

+μ

OB

（λ，μ∈R），則由共線向量定理即可得出λ+μ=1，因此正確；
②S△OAB=

1

2

，要使得△OAC的面積S_△OAC≤

1

8

，只需AC≤

1

4

AB，
假設點P是靠近A的線段AB的四等分點，則此題的概率應該是

∠AOP的弧度數(shù)

∠AOB的弧度數(shù)

＜

1

4

，故②不正確；
③S_△OAB=S_△OAC+S_△OBC，∴

1

2

|

OA

||

OB

|sin＜

OA

，

OB

＞=

1

2

|

OA

||

OC

|sin＜

OA

，

OC

＞+

1

2

|

OB

||

OC

|sin＜

OB

，

OC

＞，
化為

sin∠AOB

| OC |

=

sin∠AOC

| OB |

+

sin∠BOC

| OA |

，
∵∠AOC=30°，∠BOC=45°，∠AOB=75°，
∴

6 + 2 4

| OC |

=

sin30°

1

+

sin45°

2

，可得|

OC

|=

6 + 2

4

，因此正確；
④

OP

=k

OC

=

k

2

(

OA

+

OB

)=

ka OA′

2

+

kb OB′

2

，
由P，A′，B′三點共線和①d的結論可得

ka

2

+

kb

2

=1，可得a+b=

2

k

．
∵k，a，b＞0，∴

2

k

=a+b≥2

ab

，∴ab≤

1

k2

，當且僅當a=b=

1

k

時取等號，因此④不正確．
綜上可得：只有①③正確．
故答案為：①③．

點評：本題綜合考查了向量向量共線定理、幾何概率、三角形的面積計算公式、基本不等式等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．