Question

已知函數(shù)f(x)=

1-m+lnx

x

，m∈R．
（I）若m=1，判斷函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（II）若函數(shù)在（1，e）內(nèi)存在極值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)m=1時(shí)，令導(dǎo)數(shù)大于0，解得x的范圍為函數(shù)的增區(qū)間，令x小于0，解得x的范圍為函數(shù)的減區(qū)間．
（II）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于0，求得x的值為e^m，此時(shí)函數(shù)有可能存在極值，再判斷x=e^m左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可知當(dāng)x=e^m時(shí)函數(shù)有極大值，因?yàn)橐阎�函�?shù)在（1，e）內(nèi)存在極值，所以得到1＜e^m＜e，解不等式即可求出m的范圍．

解答：解：（I）顯然函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞）
若m=1，則f(x)=

lnx

x

，
由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則知f′(x)=

1-lnx

x2

．
令f'（x）＞0，即

1-lnx

x2

＞0，
∴1-lnx＞0，解得x＜e．
令f'（x）＜0，即

1-lnx

x2

＜0，
∴1-lnx＜0，解得x＜e．
又∵函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞）
∴函數(shù)的增區(qū)間為∈（0，e），函數(shù)的間區(qū)間為（e，+∞）．  
（II）由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則知，f′(x)=

m-lnx

x2

．
令f'（x）=0，得x=e^m．
當(dāng)x∈（0，e^m）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（e^m，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．  
故當(dāng)x=e^m時(shí)，f（x）有極大值，
又∵函數(shù)在（1，e）內(nèi)存在極值
∴1＜e^m＜e，解得0＜m＜1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間，極值的關(guān)系，求單調(diào)區(qū)間時(shí)，注意單調(diào)區(qū)間是定義域的子區(qū)間．