Question

14．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，且右準線方程為x=4．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），M（x₂，y₂）（y₂≠y₁）是橢圓C上的兩個動點，點M關(guān)于x軸的對稱點為N，如果直線PM，PN與x軸交于（m，0）和（n，0），問m•n是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，且右準線方程為x=4，列方程組解得a=2，c=1，由此能求出橢圓的標準方程．
（2）由P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），得N（x₂，-y₂），求出直線PM的方程和直線PN的方程，分別令y=0，得m和n，由此能推導出m•n為定值．

解答 解：（1）由題意，得$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，且$\frac{{a}^{2}}{c}=4$，
解得a=2，c=1，
∴$b=\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）由P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），得N（x₂，-y₂），
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}=1$，
直線PM的方程為y-y₁=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}（x-{x}_{1}）$，
直線PN的方程為y-y₁=$\frac{-{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），
分別令y=0，得m=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$，n=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$，
∴mn=$\frac{{{x}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}{{y}_{1}}^{2}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$=$\frac{（4-\frac{4}{3}{{y}_{1}}^{2}）{{y}_{2}}^{2}-（4-\frac{4}{3}{{y}_{2}}^{2}）{{y}_{1}}^{2}}{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{4（{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}）}{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}$=4為定值，
∴m•n為定值4．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查兩數(shù)值是否為定值的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意直線與橢圓性質(zhì)的合理運用．