Question

點(diǎn)P是拋物線y²=4x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓x²+（y-4）²=1上的動(dòng)點(diǎn)，若P點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為d，則|PQ|+d的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圓的方程求得圓心坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義可知P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)距離之和的最小值，根據(jù)圖象可知當(dāng)P，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)距離之和的最小，為圓心到焦點(diǎn)F的距離減去圓的半徑．

解答： 解：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1，
圓x²+（y-4）²=1的圓心為C（0，4），
根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離，
故d=|PF|-1，
進(jìn)而推斷出當(dāng)P，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)距離之和的最小為：
|PQ|+|PF|=|FC|-r=

17

-1，
故|PQ|+d=PQ|+|PF|-1=

17

-2，
故答案為：

17

-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想．