Question

【題目】已知函數(shù)，其中是自然數(shù)的底數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；

（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，求整數(shù)的所有值，使方程在上有解.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）{－3，1}

【解析】

試題（1）利用，將不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式進(jìn)行求解；（2）根據(jù)在區(qū)間D上遞增等價(jià)于在區(qū)間D上恒成立；（3）構(gòu)造函數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理進(jìn)行求解．

試題解析：（Ⅰ）∵ex＞0，∴當(dāng)f（x）＞0時(shí)即ax2+x＞0，

又∵a＜0，∴原不等式可化為x（x+）＜0，∴f（x）＞0的解集為（0，-）；

（Ⅱ）∵f（x）=（ax2+x）ex，∴f，（x）=（2ax+1）ex+（ax2+x）ex=[ax2+（2a+1）x+1]ex，

①當(dāng)a=0時(shí)，f，（x）=（x+1）ex，∵在[-1，1]上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取“=”，

∴a=0滿足條件；

②當(dāng)a≠0時(shí)，令g（x）=ax2+（2a+1）x+1，

∵△=（2a+1）2-4a=4a2+1＞0，

∴g（x）=0有兩個(gè)不等的實(shí)根x1、x2，

不妨設(shè)x1＞x2，因此f（x）有極大值和極小值；

若a＞0，∵g（-1）g（0）=-a＜0，∴f（x）在（-1，1）內(nèi)有極值點(diǎn)，∴f（x）在[-1，1]上不單調(diào)；

若a＜0，則x1＞0＞x2，∵g（x）的圖象開(kāi)口向下，要使f（x）在[-1，1]單調(diào)遞增，由g（0）=1＞0，

∴即，∴-≤a≤0；綜上可知，a的取值范圍是[-，0]；

（Ⅲ）當(dāng)a=0時(shí)，方程f（x）=x+2為xex=x+2，

∵ex＞0，∴x=0不是原方程的解，

∴原方程可化為ex--1=0；

令h（x）=ex--1，∵h(yuǎn)，（x）=ex+＞0在x∈（-∞0）∪（0+∞）時(shí)恒成立，

∴h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；又h（1）=e-3＜0，h（2）=e2-2＞0，

h（-3）=e-3＜0，h（-2）=e-2＞0，

∴方程f（x）=x+2有且只有兩個(gè)實(shí)根，且分別在區(qū)間[1，2]和[-3，-2]上，

所以，整數(shù)k的所有值為{-3，1}．