Question

已知拋物線Ω的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在y軸正半軸上，過點(diǎn)F的直線l與拋物線交于M、N兩點(diǎn)且滿足

OM

•

ON

=-3．
（1）求拋物線Ω的方程；
（2）若直線y=x與拋物線Ω交于A、B兩點(diǎn)，在拋物線Ω上是否存在異于A，B的點(diǎn)C，使得經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓和拋物線Ω在切點(diǎn)處有相同的切線？若存在，求出點(diǎn)C坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)拋物線方程為：x²=2py，焦點(diǎn)為（0，

p

2

），直線l：y=kx+

p

2

，聯(lián)立拋物線方程，消去y，運(yùn)用兩根之積，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式，得到方程，解出即可；
（2）求出點(diǎn)A，B，假設(shè)拋物線L：x²=4y上存在點(diǎn)C（t，

t2

4

）（t≠0且t≠4），使得經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓和拋物線L在點(diǎn)C處有相同的切線．設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為N（a，b），由圓的半徑相等，得到a，b用t表示，
再由切線的斜率與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，及兩直線垂直的關(guān)系，得到a，b，t的方程，再將a，b代入，得到t的方程，解出t，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)拋物線方程為：x²=2py，
焦點(diǎn)為（0，

p

2

），直線l：y=kx+

p

2

，
代入拋物線方程，得到x²-2pkx-p2=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁x₂=-p²，y_iy₂=

x12

2p

•

x22

2p

=

p2

4

，
由于

OM

•

ON

=-3，即有x₁x₂+y₁y₂=-3，
即有

p2

4

-p²=-3，解得p=2，
即有拋物線方程為x²=4y；
（2）由y=x和拋物線方程．聯(lián)立求得A（0，0），B（4，4）．
假設(shè)拋物線L：x²=4y上存在點(diǎn)C（t，

t2

4

）（t≠0且t≠4），
使得經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓和拋物線L在點(diǎn)C處有相同的切線．
設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為N（a，b），
∵

|NA|=|NB| |NA|=|NC|

，∴

a+b=4 4a+tb=2t+ 1 8 t3

，
解得

a=- t2+4t 8 b= t2+4t+32 8

，
∵拋物線L在點(diǎn)C處切線的斜率為k=y′|_x=t=

t

2

，而t≠0，且該切線與NC垂直，
∴

b- t2 4

a-t

•

t

2

=-1，即2a+bt-2t-

1

4

t³=0．
將

a=- t2+4t 8 b= t2+4t+32 8

代入上式，得t³-2t²-8t=0．
即t（t-4）（t+2）=0．∵t≠0且t≠4，∴t=-2．
故滿足題設(shè)的點(diǎn)C存在，其坐標(biāo)為 （-2，1）．

點(diǎn)評：本題考查拋物線方程和性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的切線，考查學(xué)生的綜合能力，難度較大．