Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a_n+2+2

anan+2

=4a_n+1-a_n（n∈N^*），且a₁=1，a₂=4．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{

an

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

2n+1

anan+1

的前項(xiàng)n和為S_n，求證：S_n＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）通過已知條件，利用配方法推出等差數(shù)列的等差中項(xiàng)形式，判斷數(shù)列是等差數(shù)列．
（Ⅱ）求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)法求解S_n，即可推出所證明的不等式．

解答： 解：（Ⅰ）∵an+2+2

anan+2

+an=4an+1且a_n＞0，
∴(

an+2

+

an

)2=(2

an+1

)2，
∴

an+2

+

an

=2

an+1

，
∴{

an

}是首項(xiàng)為

a1

=1，公差為

a2

-

a1

=1的等差數(shù)列． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

an

=1+(n-1)×1=n，  an=n2，
∴bn=

2n+1

n2(n+1)2

=

1

n2

-

1

(n+1)2

，
∴Sn=1-

1

22

+

1

22

-

1

32

+…+

1

n2

-

1

(n+1)2

=1-

1

(n+1)2

＜1．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列的求和以及數(shù)列是等差數(shù)列的判定，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．