已知函數(shù)f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1．
（1）若函數(shù)f（x）既有極大值又有極小值，則求實數(shù)a的取值范圍．
（2）當a=3時，求f（x）的極值；并寫出此時函數(shù)的增區(qū)間．
考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值
專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）由已知得f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），△=36a2-36（a+2）＞0，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．
（2）當a=3時，f′（x）=3x2+18x+15，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的極值和寫出此時函數(shù)的增區(qū)間．
解答： 解：（1）∵f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1，
∴f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），
∵函數(shù)f（x）既有極大值又有極小值，
∴△=36a2-36（a+2）＞0，
解得a＜-1或a＞2．
實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1）∪（2，+∞）．
（2）當a=3時，
f′（x）=3x2+18x+15，
由f′（x）＞0，得x＜-5或x＞-1；由f′（x）＜0，得-5＜x＜-1，
∴x=-5時，有極大值26；x=-1時，有極小值-6．
增區(qū)間為（-∞，-5），（-1，+∞）．
點評：本題考查函數(shù)的極大值和極小值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，已知∠ABC=60°，AB：BC=2：3，AD⊥BC于D，M為AD的中點，若
CM
=λ
AB
+μ
AC
，則λ和μ的值分別是（　　）
A、-
1
3
，
5
6
B、-
1
3
，-
5
6
C、
1
3
，
5
6
D、
1
3
，-
5
6

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)a是非零向量，λ是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（　�。�
A、
a
的方向λ
a
的方向相反
B、|-λ
a
|≥|
a
|
C、
a
與λ2
a
方向相同
D、|λ
a
|=|λ|
a

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線的左、右焦點分別為F1F2，離心率e=
2
，且過（4，-
10
），
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）直線x=3與雙曲線交于M，N兩點，求證：F1M⊥F2M．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)雙曲線經(jīng)過點（-2，0），且離心率e=
5
2
．
（1）求此雙曲線的標準方程；
（2）求雙曲線的焦點坐標及漸近線方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={x|ax2-x+b=0}只有一個元素-1，求實數(shù)ab的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某班n位學生一次考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖，其中成績分組區(qū)間是（40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．若成績在區(qū)間[70，90）的人數(shù)為34人．
（1）求圖中x的值及n；
（2）由頻率分布直方圖，求此次考試成績平均數(shù)的估計值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若數(shù)列An={an}：a1，a2，…，an（n≥2）滿足|ak+1-ak|=1（k=1，2，…，n-1），則稱數(shù)列An為E數(shù)列，記S（An）=a1+a2+…+an．
（Ⅰ）寫出一個滿足a1=a9=0，且S（A9）＞0的E數(shù)列A9；
（Ⅱ）若a1=13，n=2000，證明：E數(shù)列An是遞增數(shù)列的充要條件是an=2012．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
ax2+1
bx+c
是奇函數(shù)（a、b、c∈Z），且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a、b、c的值；
（2）判斷并證明f（x）在[1，+∞]上的單調(diào)性．

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