Question

18．經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l與圓x²+y²-6x-4y+9=0相交于兩個(gè)不同點(diǎn)A，B，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 法一、適當(dāng)引入?yún)��?shù)，設(shè)出中點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，再消去參數(shù)得所求軌跡；
法二、設(shè)出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入圓的方程，作差，利用中點(diǎn)公式，結(jié)合直線的斜率，消去參數(shù)求中點(diǎn)軌跡方程．

解答 解：法一、由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為y=kx，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-6x-4y+9=0}\\{y=kx}\end{array}\right.$，消去y得，（1+k²）x²-（6+4k）x+9=0．
設(shè)此方程的兩根為x₁、x₂，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M（x，y），
則由韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{6+4k}{2（1+{k}^{2}）}$=$\frac{3+2k}{1+{k}^{2}}$．①
又點(diǎn)M在直線y=kx上，
∴y=kx．
∴k=$\frac{y}{x}$．②
將②代入①，得x=$\frac{3+2•\frac{y}{x}}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}$（x≠0），整理得x²+y²-3x-2y=0．
故軌跡是圓x²+y²-3x-2y=0位于已知圓內(nèi)的部分；
解法二、設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則：
x₁²+y₁²-6x₁-4y₁+9=0，①
x₂²+y₂²-6x₂-4y₂+9=0，②
①-②，得（x₁²-x₂²）+（y₁²-y₂²）-6（x₁-x₂）-4（y₁-y₂）=0．
設(shè)AB的中點(diǎn)為（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y．
代入上式，有2x（x₁-x₂）+2y（y₁-y₂）-6（x₁-x₂）-4（y₁-y₂）=0，
即（2x-6）（x₁-x₂）+（2y-4）（y₁-y₂）=0．
∴$\frac{x-3}{y-2}=-\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-k．③
又∵y=kx，④
由③④得x²+y²-3x-2y=0．
故所求軌跡為已知圓內(nèi)的一段弧．

點(diǎn)評(píng) 本題考查與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題．法一為參數(shù)法，適當(dāng)引入?yún)��?shù)，再消去參數(shù)得所求軌跡；法二為“點(diǎn)差法”，是求中點(diǎn)軌跡的一種常用方法，該題是中檔題．