Question

4．已知{a_n}為正項等比數(shù)列，且a₁a₃=4，a₄=8，數(shù)列{b_n}前n項和為S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n．
（1）試求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等比數(shù)列等比中項可知求得a₂=2，a₄=8，即可求得公比q及a₁的值，即可寫出{a_n}的通項公式，根據(jù)$_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}}&{n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n}}&{n≥2}\end{array}\right.$，可得b_n；
（2）利用等比數(shù)列的前n項和公式、“錯位相減法”即可得出．

解答 解：（1）知{a_n}為正項等比數(shù)列，a₁a₃=4，
由等比中項a₁a₃=a₂²，得a₂=2，
a₂•q²=a₄=8，得q=2，
∴a₁=1，
∴a_n=2^n-1，
當n=1，a₁=1，
由S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n①．
當n≥2時，S_n-1=$\frac{1}{2}$（n-1）²+$\frac{1}{2}$（n-1）②，
∴兩式相減得：b_n=n．
當n=1，滿足；
∴{b_n}的通項公式：b_n=n．
（2）c_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，T_n=1+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{4}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{4}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n-1}}×\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$．
數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，T_n=4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．