Question

14．已知數(shù)列{a_n}是遞增的等比數(shù)列，且a₂+a₃=6，a₁a₄=8．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足$\frac{a_1}{b_1}$+$\frac{a_2}{b_2}$+…+$\frac{a_n}{b_n}$=2ⁿ•（n²+n+2）（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)，即可得出．
（2）利用遞推關(guān)系即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a₂+a₃=6，a₁a₄=8=a₂a₃．a(chǎn)₂＜a₃．
解得a₂=2，a₃=4，
∴q=$\frac{4}{2}$=2，a_n=2×2^n-2=2^n-1．
（2）由$\frac{a_1}{b_1}$+$\frac{a_2}{b_2}$+…+$\frac{a_n}{b_n}$=2ⁿ•（n²+n+2）（n∈N^*），
∴n=1時，$\frac{{a}_{1}}{_{1}}$=2×4，解得b₁=$\frac{1}{8}$．
n≥2時，$\frac{a_1}{b_1}$+$\frac{a_2}{b_2}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{_{n-1}}$=2^n-1•[（n-1）²+（n-1）+2]，
∴$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=2ⁿ•（n²+n+2）-2^n-1•[（n-1）²+（n-1）+2]=2^n-1（n²+3n+2），
∴b_n=$\frac{1}{{n}^{2}+3n+2}$．
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{8}，n=1}\\{\frac{1}{{n}^{2}+3n+2}，n≥2}\end{array}\right.$..

點評 本題考查了遞推關(guān)系、“累乘求積”、等差數(shù)列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．