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已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)當△AMN的面積為時,求k的值.
(1) +=1   (2) k=±1

解:(1)由題設知,橢圓焦點在x軸上,
∴a=2.
由e==得c=,
∴b2=a2-c2=2.
∴橢圓C的方程為+=1.
(2)由消去y,
整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.
設M(x1,y1),N(x2,y2).
則Δ=(-4k2)2-4(1+2k2)(2k2-4)>0(※)
且x1+x2=,x1·x2=,
∴|MN|=
=
=
=
=
設點A(2,0)到直線y=k(x-1)的距離為d,
則d=.
∴S△AMN=|MN|·d==,
解得k=±1,
代入(※)式成立,∴k=±1.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的中心為原點，離心率，其一個焦點在拋物線的準線上，若拋物線與直線相切．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）當點在橢圓上運動時，設動點的運動軌跡為．若點滿足：，其中是上的點，直線與的斜率之積為，試說明：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

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是方程表示橢圓或雙曲線的 （　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．不充分不必要條件

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A．B．C．D．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

橢圓+=1上有兩個動點P、Q,E(3,0),EP⊥EQ,則·的最小值為(　　)
A．6B．3-C．9D．12-6

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知F1、F2是橢圓C:+=1(a>b>0)的兩個焦點,P為橢圓C上一點,且⊥,若△PF1F2的面積為9,則b=　　　　.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，內外兩個橢圓的離心率相同，從外層橢圓頂點向內層橢圓引切線AC，BD，設內層橢圓方程為 ，若直線AC與BD的斜率之積為，則橢圓的離心率為（  ）
A．B．C．D．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

橢圓+=1的離心率為(　　)
A．B．C．D．

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