Question

7．有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法種數(shù)：
（1）選其中5人排成一排
（2）全體排成一排，甲不站在排頭也不站在排尾
（3）全體排成一排，男生互不相鄰
（4）全體排成一排，甲、乙兩人中間恰好有3人．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，利用排列真假求解可得答案；
（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析，①、安排排頭和排尾，②、將剩余的學(xué)生進(jìn)行全排列，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（3）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析，①、將4名女生進(jìn)行全排列，②、排好后有5個(gè)空位，在5個(gè)空位中任選3個(gè)，安排3名男生，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（4）根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析，①、先安排甲乙2人，考慮其順序，②、在剩余的5人中任選3人，排在甲乙2人之間，③、將5人看成一個(gè)元素，與剩余的2人進(jìn)行全排列，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．

解答 解：（1）選其中5人排成一排，有A₇⁵=2520種方法，不同的排列方法共有2520種；
（2）先安排排頭與排尾，有A₆²=30種順序，
將剩余5名學(xué)生進(jìn)行全排列，有A₅⁵=120種方法，
甲不站在排頭也不站在排尾的排法有30×120=3600種；
（3）將4名女生進(jìn)行全排列，有A₄⁴=24種順序，
排好后有5個(gè)空位，在5個(gè)空位中任選3個(gè)，安排3名男生，有A₅³=60種情況，
則男生互不相鄰的排法有24×60=1440種；
（4）先安排甲乙2人，有A₂²=2種方法，
在剩余的5人中任選3人，排在甲乙2人之間，有A₅³=60種情況，
將5人看成一個(gè)元素，與剩余的2人進(jìn)行全排列，有A₃³=6種排法；
則全體排成一排，甲、乙兩人中間恰好有3人有2×60×6=720種排法．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了排列組合的運(yùn)用，需要注意常見問題中的處理方法，特殊元素優(yōu)先安排，相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插空法，正難則反，運(yùn)用排除法．