Question

18．如圖，已知圓錐OO₁和圓柱O₁O₂的組合體（它們的底面重合），圓錐的底面圓O₁半徑為r=5，OA為圓錐的母線，AB為圓柱O₁O₂的母線，D、E為下底面圓O₂上的兩點，且DE=6，AB=6.4，AO=5$\sqrt{2}$，AO⊥AD．
（1）求證：平面ABD⊥平面ODE；
（2）求二面角B-AD-O的正弦值．

Answer 1

分析 （1）只需證明DE⊥BD．DE⊥AB，可得DE⊥平面ABD．即證得平面ABD⊥平面ODE．
（2）以D為原點，DB、DE所在的直線為x、y軸，建立空間直角坐標系．則D（0，0，0），A（8，0，6.4），B（8，0，0），O（4，3，11.4）．利用向量法求解．

解答 解：（1）依題易知，圓錐的高為$h=\sqrt{{{（{5\sqrt{2}}）}^2}-{5^2}}=5$，又圓柱的高為AB=6.4，AO⊥AD，
所以O(shè)D²=OA²+AD²，
因為AB⊥BD，所以AD²=AB²+BD²，
連接OO₁、O₁O₂、DO₂，易知O、O₁、O₂三點共線，OO₂⊥DO₂，
所以$O{D^2}=OO_2^2+{O_2}{D^2}$，
所以$B{D^2}=OO_2^2+{O_2}{D^2}-A{O^2}-A{B^2}={（{6.4+5}）^2}+{5^2}-{（{5\sqrt{2}}）^2}-{6.4^2}=64$，
解得BD=8，又因為DE=6，圓O₂的直徑為10，圓心O₂在∠BDE內(nèi)，
所以易知∠BDE=90°，所以DE⊥BD．
因為AB⊥平面BDE，所以DE⊥AB，因為AB∩BD=B，所以DE⊥平面ABD．
又因為DE?平面ODE，所以平面ABD⊥平面ODE．
（2）如圖，以D為原點，DB、DE所在的直線為x、y軸，建立空間直角坐標系．

則D（0，0，0），A（8，0，6.4），B（8，0，0），O（4，3，11.4）．
所以$\overrightarrow{DA}$=（8，0，6.4），$\overrightarrow{DB}$=（8，0，0），$\overrightarrow{DO}$=（4，3，11.4），
設(shè)平面DAO的法向理為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
所以$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{m}=8x+6.4z=0，\overrightarrow{DO}•\overrightarrow{m}=4x+3y+11.4z=0\\;\$，令x=12，則$\overrightarrow{m}=（12，41，-15）$．
可取平面BDA的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（0，1，0）$，
所以cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{41}{5\sqrt{82}}=\frac{\sqrt{82}}{10}$，
所以二面角B-AD-O的正弦值為$\frac{{3\sqrt{2}}}{10}$．

點評 本題考查了空間面面位置關(guān)系，向量法求面面角，屬于中檔題．