Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)若，證明：當(dāng)；

(2)設(shè)，若函數(shù)上有2個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

(1) 當(dāng)a=1時(shí).. 明確單調(diào)性求出最大值即可；(2)，討論a的范圍，易知當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零；當(dāng)時(shí)，研究函數(shù)的單調(diào)性，明確圖象與x軸的交點(diǎn)情況即可.

（1）當(dāng)a=1時(shí)..

.

因?yàn)?/span>，所以，

所以在時(shí)單調(diào)遞減，

所以，即.

（2）法一：

（i）當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零；

（ii）當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

故是在上的最小值

①若，即時(shí)，在上沒(méi)有零點(diǎn)；

②若，即時(shí)，在上只有1個(gè)零點(diǎn)；

③若，即時(shí)，由于，所以在（0，2）上有1個(gè)零點(diǎn)，

由（1）知，當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?/span>，

所以.

故在（2，4a）上有1個(gè)零點(diǎn)，因此在上有2個(gè)不同的零點(diǎn)。

綜上，在上有2個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍是.

法二：因?yàn)?/span>，

所以在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為方程在上根的個(gè)數(shù)。

令.

則，

令得x=2.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

所以在上的最大值為，

由（1）知，當(dāng)時(shí)，，

即當(dāng)時(shí)，

因?yàn)楫?dāng)x無(wú)限增大時(shí)，→0，所以當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)，→0，

又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，

函數(shù)在上的圖象與直線(xiàn)恰好有2個(gè)不同的交點(diǎn)，

即當(dāng)且僅當(dāng)a>一時(shí)，函數(shù)h（x）在（0，+oo）上有2個(gè)不同的零點(diǎn)，

故在上有2個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍是