Question

設(shè)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x.

(1)求f(π)的值；

(2)當(dāng)－4≤x≤4時(shí)，求f(x)的圖象與x軸所圍圖形的面積．

 

Answer 1

（1）π－4. （2）4

【解析】【解析】
(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得

f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，

所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，從而得

f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.

(2)由f(x)是奇函數(shù)與f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．

故知函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．

又0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x，且f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則f(x)的圖象如圖所示．

當(dāng)－4≤x≤4時(shí)，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，

則S＝4S△OAB＝4×(×2×1)＝4.