Question

已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16．

(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線的方程；

(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點，求直線l的方程及切點坐標；

(3)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－x＋3垂直，求切點坐標與切線的方程．

 

Answer 1

（1）y＝13x－32

（2）直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)

（3）切線坐標：（1，-14）（-1，-18） 切線方程：y＝4x－18或y＝4x－14

【解析】【解析】
(1)可判定點(2，－6)在曲線y＝f(x)上．

∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1．

∴f′(x)在點(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13．

∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)，

即y＝13x－32．

(2)設切點為(x0，y0)，

則直線l的斜率為f′(x0)＝3x02＋1，

∴直線l的方程為

y＝(3x02＋1)(x－x0)＋x03＋x0－16，

又∵直線l過點(0,0)，

∴0＝(3x02＋1)(－x0)＋x03＋x0－16，

整理得，x03＝－8，∴x0＝－2，

∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，

k＝3×(－2)2＋1＝13．

∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)．

(3)∵切線與直線y＝－x＋3垂直，

∴切線的斜率k＝4．

設切點的坐標為(x0，y0)，

則f′(x0)＝3x02＋1＝4，

∴x0＝±1，

∴或

∴切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18．

即y＝4x－18或y＝4x－14．