Question

12．點P（x，y）是直線kx+y+3=0上一動點，PA，PB是圓C：x²+y²-4y=0的兩條切線，A，B是切點，若四邊形PACB面積的最小值為2，則k的值為（　�。�

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $±2\sqrt{2}$
• C． 2
• D． ±2

Answer 1

分析 由“若四邊形面積最小，則圓心與點P的距離最小時，即距離為圓心到直線的距離時，切線長PA，PB最小”，最后利用點到直線的距離求出直線的斜率即可．

解答 解：如圖，${S_{PACB}}=2{S_{△PAC}}=|{PA}|•|{AC}|=2|{PA}|=2\sqrt{{{|{PC}|}^2}-{{|{AC}|}^2}}=2\sqrt{{{|{PC}|}^2}-4}$，
∴當|PC|最小時，面積取最小值，而|PC|最小即為點C到直線l的距離d，
又$d=\frac{5}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
∴$2\sqrt{{d^2}-4}=2⇒{k^2}=4⇒k=±2$．
故選D．

點評 本題的考點是直線與圓的位置關系，主要涉及了構(gòu)造四邊形及其面積的求法，解題的關鍵是“若四邊形面積最小，則圓心與點P的距離最小時，即距離為圓心到直線的距離時，切線長PA，PB最小”屬于中檔題．