Question

17．若函數(shù)f（x）在其定義域的一個(gè)子集[a，b]上存在實(shí)數(shù)m（a＜m＜b），使f（x）在m處的導(dǎo)數(shù)f'（m）滿足f（b）-f（a）=f'（m）（b-a），則稱m是函數(shù)f（x）在[a，b]上的一個(gè)“中值點(diǎn)”，函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}$在[0，b]上恰有兩個(gè)“中值點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（　�。�

• A． $（\frac{2}{3}，3）$
• B． （3，+∞）
• C． $（\frac{3}{2}，3）$
• D． $（{\frac{3}{2}，3}]$

Answer 1

分析 根據(jù)新定義得到x₁，x₂為方程x²-2x-$\frac{1}{3}$b²+b=0在（0，b）上有兩個(gè)不同根，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²-2x-$\frac{1}{3}$b²+b，列出不等式組，解得即可

解答 解：f′（x）=x²-2x，
設(shè)$\frac{f（b）-f（0）}{b-0}$=$\frac{1}{3}$b²-b，
由已知可得x₁，x₂為方程x²-2x-$\frac{1}{3}$b²+b=0在（0，b）上有兩個(gè)不同根，
令g（x）=x²-2x-$\frac{1}{3}$b²+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=-\frac{1}{3}^{2}+b＞0}\\{g（b）=\frac{2}{3}^{2}-b＞0}\\{b＞1}\\{△=4+\frac{4}{3}^{2}-4b＞0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{3}{2}$＜b＜3，
故選：C

點(diǎn)評 本題主要是在新定義下考查二次方程根的問題．在做關(guān)于新定義的題目時(shí)，一定要先認(rèn)真的研究定義理解定義，再按定義做題．