Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)函數(shù)f'（x），對任意的實數(shù)x都有f（x）=4x²-f（-x），當(dāng)x∈（-∞，0）時，f'（x）+$\frac{1}{2}$＜4x．若f（m+1）≤f（-m）+3m+$\frac{3}{2}$，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． $[{-\frac{1}{2}，+∞}）$
• B． $[{-\frac{3}{2}，+∞}）$
• C． [-1，+∞）
• D． [-2，+∞）

Answer 1

分析 因為f（x）-2x²+f（-x）-2x²=0，設(shè)g（x）=f（x）-2x²，則g（x）+g（-x）=0，可得g（x）為奇函數(shù)，又$g'（x）=f'（x）-4x＜-\frac{1}{2}$，得g（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，從而在R上是減函數(shù)，在根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得g（m+1）≤g（-m），由此即可求出結(jié)果．

解答 解：∵f（x）-2x²+f（-x）-2x²=0，
設(shè)g（x）=f（x）-2x²+$\frac{1}{2}$x，則g（x）+g（-x）=0，
∴g（x）為奇函數(shù)，又g′（x）=f′（x）-4x+$\frac{1}{2}$＜0，
∴g（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，從而在R上是減函數(shù)，
又f（m+1）≤f（-m）+3m+$\frac{3}{2}$，
等價于f（m+1）-2（m+1）²≤f（-m）-2（-m）²，
即g（m+1）≤g（-m），
∴m+1≥-m，解得$m≥-\frac{1}{2}$，
故選：A．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．