Question

1．已知在平面直角坐標(biāo)系中的一條雙曲線，它的中心在原點，漸近線方程為y=±$\frac{1}{2}$x，且過點A（2$\sqrt{3}$，-1）
（Ⅰ）求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；
（Ⅱ）經(jīng)過點A（1，1）作直線l交雙曲線于不同兩點M，N，且點A是線段MN的中點，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意設(shè)出雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=λ（λ≠0）$，代入A點坐標(biāo)，求得λ值，則雙曲線方程可求；
（Ⅱ）分別設(shè)出M，N的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，作差后代入A的坐標(biāo)求得MN的斜率，則直線l的方程可求．

解答 解：（Ⅰ）由題意設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=λ（λ≠0）$，
由點A（2$\sqrt{3}$，-1）在雙曲線上，得$\frac{（2\sqrt{3}）^{2}}{4}-（-1）^{2}=λ$，
∴λ=2，
則雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
其中a²=8，b²=2，則c²=a²+b²=10，c=$\sqrt{10}$．
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}=1$，
兩式作差得：$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{8}=\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{2}$，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，
∵點A（1，1）是MN的中點，∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{2}{4×2}=\frac{1}{4}$．
即${k}_{MN}=\frac{1}{4}$．
∴直線l的方程為y-1=$\frac{1}{4}$（x-1），整理得：x-4y+3=0．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的綜合運用，考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，訓(xùn)練了“點差法”求與中點弦有關(guān)的直線方程，是中檔題．