Question

13．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且過點（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）設直線l同時與橢圓C₁和拋物線C₂：y²=4x相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得a²=2b²，將點（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）．代入$\frac{{x}^{2}}{2^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程由△=0，求得m²-2k²-1=0，代入拋物線方程，由△=0，求得km-1=0，即可求得k和m的值，求得直線方程．

解答 解：（Ⅰ）由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a²=2b²，
將點（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）代入$\frac{{x}^{2}}{2^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
解得：b=1，a=$\sqrt{2}$，
∴C₁的方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由題顯然直線存在斜率，
∴設其方程為y=kx+m，┅┅┅┅┅┅┅（5分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
由△=0，化簡得：m²-2k²-1=0，┅┅┅┅┅┅┅（8分）
代入拋物線C₂：y²=4x，得到$\frac{k}{4}$y²-y+m=0，
△=0，化簡得：km-1=0，┅┅┅┅┅┅┅（10分）
解得：k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，m=$\sqrt{2}$或k=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，m=-$\sqrt{2}$，
∴直線的方程為y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\sqrt{2}$或y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\sqrt{2}$．┅┅┅┅┅┅┅（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與圓錐曲線的位置關系，考查計算能力，屬于中檔題．