Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=

2

a，點E是PD的中點．
（1）求證：PA⊥平面ABCD
（2）求EC與平面ABCD所成的角．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）根據底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，且四邊長相等，在△PAB中，由PA²+AB²=2a²=PB²可推斷出PA⊥AB．同樣可推斷出，PA⊥AD，進而根據直線與面垂直的定義判斷出PA⊥平面ABCD．
（2）作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD．知EG⊥平面ABCD，則∠ECG即為所求，可得DE=

2 a

2

，EG=

1

2

PA=

a

2

，PC=

PA2+AC2

=

2

a，CD=a，PD=

2

a，在△PCD中，可求cos∠PDC，在△EDC中，由余弦定理可得EC=a，在△EGC中，即可求得sin∠ECG的值，從而得解．

解答： 證明：（1）∵底面是菱形，∠ABC=60°，AC=a，
∴可得AB=a，
∵PA=a，PB=

2

a，
∴在三角形PAB中，PB²=AB²+PA²，由勾股定理可得：PA⊥AB，
同理，在三角形PAD中，可得PD²=AD²+PA²，由勾股定理可得：PA⊥AD，
∵AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD．
（2）作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD．
知EG⊥平面ABCD，則∠ECG即為所求．
又E是PD的中點，從而G是AD的中點，DE=

2 a

2

，EG=

1

2

PA=

a

2

由于：PC=

PA2+AC2

=

2

a，CD=a，PD=

2

a，
在△PCD中，cos∠PDC=

PD2+DC2-PC2

2PD•DC

=

2

4

，
在△EDC中，由余弦定理可得：EC=

ED2+CD2-2ED•CD•cos∠PDC

=a，
在△EGC中，sin∠ECG=

EG

EC

=

a 2

a

=

1

2

．
故可解得：EC與平面ABCD所成的角∠ECG=30°．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定和直線與平面所成的角的解法，考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力，考查了轉化思想，屬于中檔題．