Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)求出，對(duì)分類(lèi)討論，以（或）是否恒成立作為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)（或）不恒成立，求出的解，即可得出結(jié)論；

（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的，總存在，使得成立，即，利用求導(dǎo)方法，求出的最值，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與的函數(shù)關(guān)系，即可求解.

（Ⅰ）的定義域?yàn)?/span>，，

令，，

（1）當(dāng)，即時(shí)，

恒成立，即恒成立，

故函數(shù)的單增區(qū)間為，無(wú)單減區(qū)間.

（2）當(dāng)，即時(shí)，由解得

或，

i）當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)或時(shí)，

當(dāng)時(shí).

ii）當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)；

綜上所述：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單增區(qū)間為，無(wú)單減區(qū)間.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單增區(qū)間為和，

單減區(qū)間為.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單增區(qū)間為，

單減區(qū)間為.

（Ⅱ）令，.

原問(wèn)題等價(jià)于：對(duì)任意的，總存在，

使得成立，即.

∵，∵，，

∴，∴在上單調(diào)遞增，

∴，

即對(duì)任意的恒成立，

令，，只需，

，∵，∴，

∴在上單調(diào)遞增，∴，

所以.