如圖,已知直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AB=AD=a,BC=3a,E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn),以DE為棱把△CDE折起,使其成直二面角C-DE-A,求四棱錐C-ABED體積的最大值.
解:設(shè)∠DEC=θ,作CF⊥DE于F,DH⊥BC于H,則EH=acotθ,CF=CEsinθ=(2a+acotθ)·sinθ,=-.∵C-DE-A是直二面角,∴平面CDE⊥平面ABED.又∵CF⊥DE,∴CF⊥平面ABED.=·CF=(1-)(2+cotθ)·sinθ=·sinθ(4-)=(5sinθ-).當(dāng)E與B點(diǎn)重合時(shí),θ有最小值:=;當(dāng)E→C點(diǎn)時(shí),θ→π-,∴θ∈(,π-).當(dāng)時(shí),5sinθ-是增函數(shù),當(dāng)θ∈[,π-)時(shí),易得5sinθ-是減函數(shù). ∴時(shí),V有最大值: |
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如圖,已知直角梯形ABCD的上底BC=,BC∥AD,BC=AD,CD⊥AD,平面PDC⊥平面ABCD,△PCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.
(1)證明:AB⊥PB;
(2)求三棱錐A-PBD的體積.
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