Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx的圖象與直線y=-3x+8相切于點(diǎn)P（2，2）．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（2），由f′（2）=-3，且f（2）=2聯(lián)立方程組求得a，b的值，則函數(shù)解析式可求；
（Ⅱ）分別由導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0求得原函數(shù)的增區(qū)間及減區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=x³+ax²+bx，得f′（x）=3x²+2ax+b，
∴f′（2）=12+4a+b=-3，①
f（2）=8+4a+2b=2，②
聯(lián)立①②解得：a=-6，b=9．
∴f（x）=x³-6x²+9x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=3x²-12x+9=3（x²-4x+3），
由f′（x）＞0，解得x＜1或x＞3，
由f′（x）＜0，解得1＜x＜3．
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，1），（3，+∞）；減區(qū)間為（1，3）．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．